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In der Bayes-Statistik werden Schätzungen mithilfe des Bayes-Theorems und des Konzepts der bedingten Wahrscheinlichkeit berechnet. Das Bayes-Theorem besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass ein Ereignis B eingetreten ist, durch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass das Ereignis A eingetreten ist, und die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A geteilt durch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B gegeben ist.
In der Bayes-Statistik werden Schätzungen basierend auf vorhandenen Informationen und priori-Wissen über den zu schätzenden Parameter gemacht. Der Schätzprozess besteht aus den folgenden Schritten:
Festlegen einer priori-Verteilung: Vor Beginn der Datenanalyse wird eine priori-Verteilung für den zu schätzenden Parameter festgelegt. Die priori-Verteilung drückt das anfängliche Wissen oder die Unsicherheit über den Parameter aus, bevor die Daten betrachtet werden.
Sammeln von Daten: Daten werden gesammelt, um die Schätzung des Parameters zu ermöglichen. Die Daten können aus Experimenten, Umfragen oder anderen Beobachtungen stammen.
Aktualisierung der priori-Verteilung: Durch die Kombination der priori-Verteilung mit den beobachteten Daten wird die a posteriori-Verteilung berechnet. Die a posteriori-Verteilung gibt die aktualisierte Wahrscheinlichkeitsverteilung des Parameters unter Berücksichtigung der beobachteten Daten an.
Berechnung der Schätzung: Die Schätzung des Parameters wird aus der a posteriori-Verteilung abgeleitet. Dies kann durch verschiedene Methoden erfolgen, wie z.B. die Wahl des Maximums a posteriori (MAP-Schätzung) oder die Berechnung des Erwartungswerts der a posteriori-Verteilung.
Bewertung der Schätzung: Die Qualität der Schätzung kann anhand verschiedener Kriterien bewertet werden, wie z.B. der mittleren quadratischen Abweichung oder dem Konfidenzintervall.
Der Bayes'sche Schätzansatz ermöglicht es, vorhandenes Wissen mit den beobachteten Daten zu kombinieren, um die Schätzungen zu verbessern. Durch die Berücksichtigung des priori-Wissens kann die Bayes-Statistik insbesondere bei begrenzten Daten oder bei der Schätzung seltener Ereignisse vorteilhaft sein.