Aktuelles / Blog: Wissensdatenbank

Wie funktioniert die Methode der kleinsten Quadrate zur Schätzung von Regressionskoeffizienten?

Die Methode der kleinsten Quadrate ist ein statistisches Verfahren zur Schätzung der Regressionskoeffizienten in einer linearen Regression. Das Ziel besteht darin, die Linie zu finden, die die Summe der quadrierten vertikalen Abstände (Residuen) zwischen den beobachteten abhängigen Variablenwerten und den von der Regressionslinie vorhergesagten Werten minimiert.

Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Erklärung des Verfahrens der kleinsten Quadrate:

Datensammlung: Sammle Daten zu den abhängigen (y) und unabhängigen (x) Variablen. Jeder Datenpunkt besteht aus einem Paar (x, y).

Modellspezifikation: Wähle ein lineares Regressionsmodell, das die Beziehung zwischen x und y beschreibt. Das Modell hat die Form y = β0 + β1x + ɛ, wobei β0 und β1 die zu schätzenden Regressionskoeffizienten sind und ɛ den Fehlerterm darstellt.

Berechnung der Vorhersagen: Berechne die vorhergesagten Werte ŷ für jeden Datenpunkt, indem du die Regressionsgleichung mit den geschätzten Koeffizienten β0 und β1 einsetzt.

Berechnung der Residuen: Berechne den Unterschied zwischen den beobachteten y-Werten und den vorhergesagten ŷ-Werten. Die Residuen werden als e = y - ŷ dargestellt.

Quadratsumme der Residuen berechnen: Quadriere jeden Residuenwert und summiere die quadrierten Residuen, um die Summe der quadrierten Residuen (RSS) zu erhalten: RSS = Σ(e²).

Schätzung der Koeffizienten: Schätze die Regressionskoeffizienten β0 und β1, indem du die RSS minimierst. Die Schätzungen können mithilfe von mathematischen Formeln oder Optimierungsalgorithmen wie dem sogenannten "Normalengleichung" oder der Methode des "Gradientenabstiegs" gefunden werden.

Modellbewertung: Bewerte die Güte des Modells, indem du statistische Maße wie den Bestimmtheitsmaß (R²) oder den Standardfehler der Schätzung berechnest. Diese Maße geben an, wie gut die Regressionslinie zu den Daten passt und wie gut die Vorhersagen sind.

Die Methode der kleinsten Quadrate ist ein weit verbreitetes Verfahren zur Schätzung von Regressionskoeffizienten, da es die Koeffizienten liefert, die den Residuen am nächsten kommen und somit die beste Passform zur zugrunde liegenden Datenstruktur bieten.