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Was ist das Gesetz der großen Zahlen?

Das Gesetz der großen Zahlen ist ein fundamentales Prinzip in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Es besagt, dass mit zunehmender Anzahl von unabhängigen, gleich verteilten Zufallsexperimenten der relative Fehler zwischen der empirischen Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und seiner theoretischen Wahrscheinlichkeit gegen null konvergiert.

Es gibt zwei Hauptformulierungen des Gesetzes der großen Zahlen:

Schwaches Gesetz der großen Zahlen (SLLN - Strong Law of Large Numbers):

• Diese Formulierung besagt, dass der Durchschnitt von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen (bei endlichem Erwartungswert) mit steigender Stichprobenanzahl gegen den Erwartungswert dieser Zufallsvariablen konvergiert.
• Mit anderen Worten, die relative Abweichung des Durchschnitts vom Erwartungswert wird mit hoher Wahrscheinlichkeit gegen null gehen.

Starkes Gesetz der großen Zahlen (WLLN - Weak Law of Large Numbers):

• Diese Formulierung ist stärker und besagt, dass mit fast sicherer Wahrscheinlichkeit (mit Wahrscheinlichkeit 1) der Durchschnitt von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen gegen ihren Erwartungswert konvergiert.
• Dies bedeutet, dass die Konvergenz nicht nur im Mittel, sondern fast sicher erfolgt.

Das Gesetz der großen Zahlen hat weitreichende Anwendungen in verschiedenen Bereichen, einschließlich Statistik, Versicherungsmathematik, Finanzwesen und Maschinelles Lernen. Es unterstreicht die Stabilität von statistischen Schätzungen, wenn die Stichprobengröße groß ist, und bildet die Grundlage vieler probabilistischer Modelle.